矩阵微分
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2025-05-18
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矩阵微分
标量-标量微分
我们从一个例子说起。假设一个物体做匀加速直线运动，它的速度和时间的关系为
，也就是说在时速度为，时，速度为，速度随着时间的
推移均匀增加，每隔增加。物体运动后在某个时间点一定位于某个位置上，因此位
置也是时间的函数，假设为，例如在时，物体的位置为等等。当从时间
到时间，物体的位置从变为，物体发生的位移为，使用的
时间为，因此可以得到物体在这段时间内的平均速度等于位移除以时间，即
这个平均速度和在的瞬时速度有什么关系呢？首先平均速度表示的是物体在一段时间
内速度的平均水平，而瞬时速度表示的是物体在某一个时刻的速度。显然有
，物体在的瞬时速度为，在 的瞬时速度为=
，当时间间隔非常小时，，因此，这说明当时间间
隔非常小时，这段时间内的平均速度与瞬时速度相等。即
这个极限被称为位置函数关于时间的导数，记作
或，其中表示时间的微小变化，
表示位置的微小变化，即
该导数的含义是当自变量发生微小变化时，因变量的变化率（位置发生的微小变化除以时
间的微小变化）。这个变化率正好是瞬时速度。显然如上导数也可以写成如下形式
该式称为导数的微分形式。
能否给出位置函数的表达式呢？从时刻到时刻，物体的位置从变为，这段时
间发生的位移为，我们将这段时间间隔分成等份，每个等份的时间间隔为，第
个时间等份发生的位移为，其中表示第个时间等份的平均速度，第个时间等份
开始时的瞬时速度为
，当等份足够多时，平均速度等于瞬时速度，因此
，
得到位移
当等份足够多时，物体发生的总位移等于所有等份位移之和
该式被称为积分，记作
，表示从时刻到时刻，发生的位移的累积。由导数的微分形
式，有
称为的不定积分，
容易计算
这表示
因此得到物体在任何时间的位置函数
通常假设物体开始时候的位置为，得到。现在来看它的导数
正所谓“不积跬步，无以至千里”，一个个步子按照时间累积而成千里，而导数恰恰与
其相反，它关注的是千里路程每个时间点的步子变化。积分和微分存在可逆的关系，积分从
宏观表示，微分从微观来表示。即
上面讨论的是一元函数的微分，对于多元函数，例如。如何定义微分呢？
标量-标量微分的性质
（1） 假设，其中是一个常数，则
（2） 假设都是的函数，则两个函数的和或差的导数为
（3） 假设都是的函数，则两个函数的乘积的导数为
（4） 假设都是的函数，则两个函数的商的导数为
（5） 假设是关于自变量的一元函数， 是的函数，则复合函数的导数
为
标量-向量微分
标量-向量微分是指自变量是一个向量，因变量是一个标量的函数的微分。假设
，是向量的函数，即
它是我们熟悉的多元函数，当自变量为维时，称为元函数。多元函数的输入是一个向量，
每个分量表示一个自变量，而因变量是一个标量，例如是一个二元函
数。
多元函数对的导数记作
或
，它等于函数对向量的每个分量求偏导数，即
这里给出了两种形式，关于求导有两种布局约定，一种称为分子布局（Numerator Layout），
一种称为分母布局（Denominator Layout），所谓分子布局是指求导结果是一个
分子维度
分母维度
的张量；分母布局则相反，求导结果是一个
分母维度
分子维度
的张量。
标量-向量微分的分子维度为，分母维度为。如果采用分子布局，求导结果是一个
的行向量，如果采用分母布局，求导结果是一个列向量。分子布局的求导结果是我们
熟悉的梯度向量，梯度向量在数学中通常写成行向量形式，因此本书采用分子布局。
例：对于二元函数，它关于向量的导数为
标量-向量微分的性质
（1） 假设，其中是一个常数，则
（2） 转置不变性：假设是一个元函数，则关于与其转置的导数是相等的，即
（3） 假设都是的元函数，则两个函数的和或差的导数为
（4） 假设都是的元函数，则两个函数的乘积的导数为
（5） 假设都是的元函数，则两个函数的商的导数为
（6） 假设是关于自变量的一元函数， 是的元函数，则复合函数的
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矩阵微分标量-标量微分我们从一个例子说起。假设一个物体做匀加速直线运动，它的速度和时间的关系为ߘ(ߖ)=Ϻߖ(ߍߏʆߕ)，也就是说在ߖ=ϸ时速度为ϸ，ߖ=Ϲ时，速度为Ϻߍߏʆߕ，速度随着时间的推移均匀增加，每隔Ϲߕ增加Ϻߍߏʆߕ。物体运动后在某个时间点一定位于某个位置上，因此位置也是时间的函数，假设为ߕ(ߖ)，例如在ߖ=ϸ时，物体的位置为ߕ(ϸ)等等。当从时间ߖ=ߖ到时间ߖ=ߖ+хߖ，物体的位置从ߕ(ߖ)变为ߕ(ߖ)，物体发生的位移为ߕ(ߖ)−ߕ(ߖ)，使用的时间为ߖ−ߖ=хߖ，因此可以得到物体在这段时间内的平均速度等于位移除以时间，即ߘԭ=ߕ(ߖ)−ߕ(ߖ)ߖ−ߖ=ߕ...
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